Статично невизначені (багатопролітні) балки

Вступ

На цій сторінці ми проведемо повний розрахунок балки з будь-якою кількістю проміжних опор (мал.1) під дією довільної системи згинаючих моментів, зосреджених сил, рівномірно та лінійно розподілених навантажень, розташованих у вертикальній площині.

Ця сторінка призначена для студентів, що вивчають опір матеріалів. Безпосередньо на цій сторінці ви можете виконати своє ІДЗ, навіть якщо у вас немає на комп’ютері MATLAB. Якщо ж у вас є MATLAB, перейдіть на цю сторінку: там у вас є можливість втрутитися у сценарій (програму) обчислень. А на цій сторінці виконання ІДЗ проводиться за стандартним сценарієм, який зазвичай використовується у ВНЗ при вивченні курсу опірмату.

Для правильної роботи з цією сторінкою ваш браузер повинен підтримувати сценарії Java Script. Увімкніть їх.

Цей посібник допоможе вам спростити виконання цього ІДЗ. Як і будь-який помічник, він не позбавляє вас від необхідності думати. Використовуючи цей посібник, ви отримаєте технічну допомогу, позбудитесь прикрих помилок обчислень, але розуміти суть проблеми вам все одно треба. Але не лякайтесь: якщо ви змогли знайти цю сторінку в Internet, то розібратися у виконанні цього завдання напевно зможете.

Граничні умови на кожному краю можуть бути:

  1. жорстке защемлення;
  2. шарнір (вільне опирання);
  3. вільний край.

Оберемо систему координат так, як показано на мал.2.

Початок системи координат O розмістимо на лівому кінці, вісь Oz спрямуємо вздовж осі балки, а осі Ox та Oy − вздовж головних центральних осей інерції. Вважаємо, що всі силові фактори діють у плошині yOz, як показано на мал.2.

Будемо використовувати правило знаків плюс-плюс-плюс-плюс:

У відповідності до [1] оберемо додатний напрям прогину w(z) вгору, у бік додатного напрямку осі Oy (мал.3).

Тоді додатні значення кутів повороту θ(z) будуть відповідати зростанню прогину w(z), а від’ємні − спаданню (мал.4).

Згинаючий момент − це друга похідна від прогину (з точністю до множника) та перша похідна від кута повороту θ(z) (знов-таки з точністю до множника); тому додатне значення момента M(z) відповідає зростанню кута повороту θ(z), тобто згину балки опуклістю вниз, а овід’ємний M(z) − згину опуклістю вгору (мал.5).

При побудові епюр ми будемо розрізати балку при даному значенні аргументу z, відкидати ліву частину та заміняти її еквівалентною системою сил та моментів. Додатне значення M(z) (опуклістю вниз) при цьому дає момент, спрямований за ходом годинникової стрілки (мал.6).

Тому у вхідних даних зосереджені моменти будемо задавати додатними, якщо вони спрямовані за ходом годинникової стрілки.

Розглянемо тепер правило знаків для перерізних сил. У відповідності до (3) додатною будемо вважати таку силу Q(z), яка відповідає зростанню згинаючого момента M(z) при зростанні z. Наочно уявити собі зростання угнутості важко, тому застосуємо інше правило для визначення знаку Q(z). Замінимо відрізану ліву частину такою силою, яка відповідає збільшенню M(z) (мал.7). Оскільки момент дорівнює добутку сили на плече, то додатне значення зосередженої сили відповідає її напрямку вгору. Така сила намагається повернути елемент балки за ходом годинникової стрілки.

І, нарешті, виведемо правило знаків для розподіленого навантаження q(z). Додатна q(z) відповідає зростанню перерізної сили Q(z). На мал.8 показаний додатний напрям q(z): вгору. Саме такий напрям q(z) відповідає зростанню Q(z).

Підсумуємо все сказане вище. При задаванні вхідних даних будемо вважати:

При побудові епюр будемо користуватися формулами (1-4). Вважаємо:

Введення вхідних даних

У цьому методичному посібнику можна використовувати такі навантаження:

На кінцях можна задавати такі умови закріплення:

Якщо у вашому ВНЗ викладачі задають студентам інші види навантаження (розподілені моменти тощо) або інші граничні умови (наприклад, пружній шарнір), − напишіть мені, і ми разом доопрацюємо цей посібник.

Вхідними даними для цього ІДЗ є довжина балки L, граничні умови на її кінцях, місця розташування проміжних опор та навантаження на неї: значення M, F, q та точки (інтервали) їхнього прикладання. Для підбирання двотаврового профіля з умов міцності треба також задати модуль пружності E та допустиме напруження [σ]. Задайте їх у таблицях, що знаходяться нижче.

Змінить за необхідимості ці дані:
Довжина балки L (м):
Гранична умова зліва:
Гранична умова справа:
Додати проміжну опору у точці (м):
Модуль пружності E (МПа):
 Допустиме напруження [σ] (МПа): 

Додайте потрібні навантаження:
Зосереджений момент M
та точка a його прикладання
M (кНм):
a (м):
Зосереджена сила F
та точка a її прикладання
F (кН):
a (м):
Лінійно розподілене навантаження (qa, qb)
та інтервал (a, b) його дії.
Для рівномірного навантаження задавайте qa = qb.
qa (кН/м):
qb (кН/м):
a (м):
b (м):

Перевірте, чи правильно ви задали вхідні дані. Якщо так, то йдемо далі.

Знаходження початкових параметрів та невідомих реакцій опор

Наша балка є статично невизначеною: невідомі реакції опор та силові фактори на лівому кінці не можуть бути знайдені з рівнянь статики. Застосуємо для розв’язання задачі метод початкових параметрів. Запишемо рівняння зігнутої осі балки:

де

кутовий коефіцієнт k-о розподіленого навантаження. Для сталого розподіленого навантаження він дорівнює нулю. Тут у першій та другій сумах ak − точка прикладання зосередженого момента Mk та зосередженої сили Fk; у інших сумах a1k та b2k − початок та кінець прикладання розподіленого навантаження. Значення зосереджених сил − це Fk, а qak та qbk − значення розподіленого навантаження на початку та в кінці проміжку його дії. Тут EJxw0 − прогин у лівому перерізі (з точністю до множника EJx), EJxθ0 − кут повороту лівого перерізу (також з точністю до множника EJx), M0 та Q0 − згинаючий момент та перерізна сила в лівому перерізі. Усі ці параметри з нуликами внизу (вони називаються початковими) − невідомі. У кожній з сум додавання ведеться за усіма силовим факторами, розташованими ліворуч від поточного перерізу. У другій сумі (зосереджених зусиль Fk) треба також урахувати невідомі реакції опор R1, R2, …. Т.ч., у рівнянні (5)n+4 невідомих, де n − кількість проміжних опор. Якщо ми їх знайдемо, то зможемо побудувати епюру переміщень за формулою (5) та інші епюри за допомогою похідних від (5), які за (1-3) дають:

Для знаходження цих n+4 невідомих у нас є стільки ж рівнянь:

В залежності від виду граничних умов будуть дорівнювати нулю:

  1. у жорсткому защемленні − прогин та кут повороту;
  2. при шарнірному опиранні − прогин та згинаючий момент;
  3. на вільному кінці − згинаючий момент та перерізна сила.

Запишемо цю систему рівнянь та розв’яжемо її. Спочатку знайдемо точки перемикання аналітичних виразів у формулах (5-8). Це будуть: початок та кінець балки, точки, де знаходяться проміжні опори та точки прикладання всіх силових факторів (для розподіленого навантаження q беремо й початок, і кінець прикладання).

Тепер створимо систему рівнянь. Перші 4 рівняння − це граничні умови на лівому та правому кінцях, а наступні n − рівність нулю переміщень під опорами.

Побудова епюр

Тепер, коли ми обчислили всі необхідні дані для формул (5-9), будуємо епюри прогинів (з точністю до множника EJx), кутів повороту (також з точністю до множника EJx), згинаючих моментів та перерізних сил. Спочатку записуємо аналітичні вирази на кожній ділянці, а потім будуємо графіки. Прогини під проміжними опорами повинні дорівнювати нулю.

Підбирання перерізу з умов міцності

Знайдемо максимальний (за модулем) згинаючий момент Mmax та переріз, в якому він досягається (небезпечний переріз).

Із співвідношення

знаходимо мінімально допустимий момент опору перерізу:

Перевіримо тепер дотичні напруження. В кожному перерізі вони підраховуються за формулою Журавського:

Знайдемо дотичні напруження в двох перерізах: у тому, де досягається максимальний згинаючий момент, і в тому, де досягається максимальна перерізна сила.

Як правило, дотичні напруження значно менші за нормальні в одному й тому ж перерізі, до того ж вони досягаються на різних волокнах: нормальні − на крайніх, а дотичні − в середині перерізу. Тому небезпечними є зазвичай нормальні напруження.

Намалюємо розподіл нормальних та дотичних напружень у перерізі. Нормальні напруження розподілені лінійно, а дотичні − за параболою. Ми будуємо епюру розподілу дотичних напружень наближено: заміняємо двотавр набором прямокутників. Обчислюємо за формулою (12) напруження у крайніх волокнах тонкої вертикальної стійки та на внутрішніх волокнах широкої горизонтальної полички. На стійці будуємо параболу, а на короткій поличці обмежуємося прямолінійним відрізком. Малюємо на одному малюнку переріз, розподіл нормальних та дотичних напружень у небезпечному перерізі (там, де досягається Mmax), та розподіл дотичних напружень у тому перерізі, де досягається Qmax.

Намалюємо також і дійсні переміщення та кути повороту та обраному двотавровому профілі.

Що робити далі

Можливо, ви захочите надрукувати результати. Якщо перекинути вміст сторінки, наприклад, в MS Office-Word або Libre Office-Writer, то формули та графіки спотворяться, оскільки вони зроблені не як малюнки, а як вбудовані об’єкти. Тому краще роздрукувати сторінку безпосередньо з браузера або зробити скріншоти.

Література

  1. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.: Отв. Ред. Писаренко Г.С. - 2-е изд., перераб. И доп. - Киев: Наукова думка, 1988. - 7736 с. - ISSN 5-12-000299-4.