Балка на пружній основі

Вступ

На цій сторінці ми проведемо повний розрахунок балки на пружній основі (мал.1) під дією довільної системи згинаючих моментів, зосреджених сил та рівномірно розподілених навантажень, розташованих у вертикальній площині.

Ця сторінка призначена для студентів, що вивчають опір матеріалів. Безпосередньо на цій сторінці ви можете виконати своє ІДЗ, навіть якщо у вас немає на комп’ютері MATLAB. Якщо ж у вас є MATLAB, перейдіть на цю сторінку: там у вас є можливість втрутитися у сценарій (програму) обчислень. А на цій сторінці виконання ІДЗ проводиться за стандартним сценарієм, який зазвичай використовується у ВНЗ при вивченні курсу опірмату.

Для правильної роботи з цією сторінкою ваш браузер повинен підтримувати сценарії Java Script. Увімкніть їх.

Цей посібник допоможе вам спростити виконання цього ІДЗ. Як і будь-який помічник, він не позбавляє вас від необхідності думати. Використовуючи цей посібник, ви отримаєте технічну допомогу, позбудитесь прикрих помилок обчислень, але розуміти суть проблеми вам все одно треба. Але не лякайтесь: якщо ви змогли знайти цю сторінку в Internet, то розібратися у виконанні цього завдання напевно зможете.

Граничні умови на кожному краю можуть бути:

  1. жорстке защемлення;
  2. шарнір (вільне опирання);
  3. вільний край.

Оберемо систему координат так, як показано на мал.2.

Початок системи координат O розмістимо на лівому кінці, вісь Oz спрямуємо вздовж осі балки, а осі Ox та Oy − вздовж головних центральних осей інерції. Вважаємо, що всі силові фактори діють у плошині yOz, як показано на мал.2.

Будемо використовувати правило знаків плюс-плюс-плюс-плюс:

У відповідності до [1] оберемо додатний напрям прогину w(z) вгору, у бік додатного напрямку осі Oy (мал.3).

Тоді додатні значення кутів повороту θ(z) будуть відповідати зростанню прогину w(z), а від’ємні − спаданню (мал.4).

Згинаючий момент − це друга похідна від прогину (з точністю до множника) та перша похідна від кута повороту θ(z) (знов-таки з точністю до множника); тому додатне значення момента M(z) відповідає зростанню кута повороту θ(z), тобто згину балки опуклістю вниз, а овід’ємний M(z) − згину опуклістю вгору (мал.5).

При побудові епюр ми будемо розрізати балку при даному значенні аргументу z, відкидати ліву частину та заміняти її еквівалентною системою сил та моментів. Додатне значення M(z) (опуклістю вниз) при цьому дає момент, спрямований за ходом годинникової стрілки (мал.6).

Тому у вхідних даних зосереджені моменти будемо задавати додатними, якщо вони спрямовані за ходом годинникової стрілки.

Розглянемо тепер правило знаків для перерізних сил. У відповідності до (3) додатною будемо вважати таку силу Q(z), яка відповідає зростанню згинаючого момента M(z) при зростанні z. Наочно уявити собі зростання угнутості важко, тому застосуємо інше правило для визначення знаку Q(z). Замінимо відрізану ліву частину такою силою, яка відповідає збільшенню M(z) (мал.7). Оскільки момент дорівнює добутку сили на плече, то додатне значення зосередженої сили відповідає її напрямку вгору. Така сила намагається повернути елемент балки за ходом годинникової стрілки.

І, нарешті, виведемо правило знаків для розподіленого навантаження q(z). Додатна q(z) відповідає зростанню перерізної сили Q(z). На мал.8 показаний додатний напрям q(z): вгору. Саме такий напрям q(z) відповідає зростанню Q(z).

Підсумуємо все сказане вище. При задаванні вхідних даних будемо вважати:

При побудові епюр будемо користуватися формулами (1-4). Вважаємо:

Деякі теоретичні відомості

У відповідності до [1] виведемо диференціальне рівняння зігнутої осі балки. Це рівняння має вигляд: друга похідна від згинаючого моменту (тобто EJxwIV(z)) дорівнює сумі всіх розподілених навантажень у поточному перерізі на одиницю довжини. Такими навантаженнями будуть зовнішні силові фактори та реакція пружньої основи. Коефіцієнт жорсткості пружгьої основи c − це сила, з якою діє пружня основа на одиницю площі нижньої поверхні балки при одиничному прогині основи. Тому розмірність c буде Н/м3. Якщо позначити ширину нижньої поверхні балки через b, то

− це сила, з якою діє пружня основа на одиницю довжини балки при одиничному прогині. Розмірність α буде Н/м2. Сила реакції пружньої основи на одиницю довжини тоді буде дорівнювати αw, і буде спрямована у бік, протилежний до прогину. Таким чином, диференціальне рівняння зігнутої осі балки на пружній основі має вигляд:

де q(z) − узагальнене зовнішнє навантаження, що враховує усі сили та моменти. Диференціальне рівняння (6) доповнюється 4 граничними умовами: по 2 на лівому та правому кінцях, в залежності від умов закріплення.

Розв’язок рівняння (6) зручно записувати через функції Крилова:

Ці функції мають властивість:

Якщо ввести до розгляду зведену довжину:

то загальний розв’язок диференціального рівняння (6) записується у вигляді:

Тут EJxw0 − прогин у лівому перерізі (з точністю до множника EJx), EJxθ0 − кут повороту лівого перерізу (також з точністю до множника EJx), M0 та Q0 − згинаючий момент та перерізна сила у лівому перерізі. Ці 4 параметри (вони називаються початковими) знаходяться з граничних умов. У кожній з сум додавання ведеться за усіма силовими факторами, що діють лівіше від поточного перерізу.

Послідовне диференціювання виразу (10) дає кут повороту:

згинаючий момент:

та перерізну силу:

За виразами (10-13) можна будувати епюри.

Введення вхідних даних

У цьому методичному посібнику можна використовувати такі навантаження:

На кінцях можна задавати такі умови закріплення:

  1. жорстке защемлення;
  2. шарнір (вільне опирання);
  3. вільний край.

Якщо у вашому ВНЗ викладачі задають студентам інші види навантаження (розподілені моменти, лінійне навантаження тощо), проміжні опори або інші граничні умови (наприклад, пружній шарнір), − напишіть мені, і ми разом доопрацюємо цей посібник.

Вхідними даними для виконання цього ІДЗ є довжина балки L, граничні умови, дані для двотаврового профіля, фізичні характеристики матеріала балки та пружньої основи, допустиме напруження та навантаження на балку: значення M, F, q та точки (інтервали) їхнього прикладання. Зауважимо, що тут двотавровий профіль треба задавати заздалегідь, оскільки його дані входять у коефіцієнти диференціального рівняння (6) через множник α (5). Задайте взідні дані у таблицях, що знаходяться нижче.

Змінить за необхідимості ці дані:
Довжина балки L (м):
Гранична умова зліва:
Гранична умова справа:
Модуль пружності E (МПа):
 Допустиме напруження [σ] (МПа): 
Жорсткість пружньої основи c (Н/м3):
Номер двотаврового профіля:

Додайте потрібні навантаження:
Зосереджений момент M
та точка a його прикладання
M (кНм):
a (м):
Зосереджена сила F
та точка a її прикладання
F (кН):
a (м):
Рівномірно розподілене навантаження q
та інтервал (a, b) його прикладання.
q (кН/м):
a (м):
b (м):

Перевірте, чи правильно ви задали вхідні дані. Якщо так, то йдемо далі.

Знаходження початкових параметрів

Наша балка є статично невизначеною: невідомі початкові параметри не можуть бути знайдені з рівнянь статики. Вони знаходяться з граничних умов. Для знаходження цих 4 невідомих початкових параметрів у нас є стільки ж рівнянь: по 2 якихось параметри на кожному кінці балки дорівнюють нулю − усього 4 рівняння.

В залежності від виду граничних умов будуть дорівнювати нулю:

  1. у жорсткому защемленні − прогин та кут повороту;
  2. при шарнірному опиранні − прогин та згинаючий момент;
  3. на вільному кінці − згинаючий момент та перерізна сила.

Спочатку знайдемо точки перемикання аналітичних виразів у формулах (10-13). Це будуть: початок і кінець балки, і точки прикладання всіх силових факторів (для розподіленого навантаження q беремо і початок, і кінець прикладання). Запишемо також характеристики обраного двотаврового профіля та інші необхідні для розрахунків дані.

Запишемо тепер систему рівнянь для знаходження початкових параметрів та розв’яжемо її. Перші 2 рівняння − це граничні умови на лівому кінці балки, а 3-є та 4-е рівняння − на правому кінці.

Побудова епюр

Тепер, коли ми обчислили усі необхідні дані для формул (10-13), будуємо епюри переміщень, кутів повороту, згинаючих моментів та перерізних сил. Спочатку записуємо аналітичні вирази на кожній ділянці, а потім будуємо графіки. Прогини та кути повороту малюємо у натуральному масштабі, з використанням обраного двотаврового профіля та без множника EJx.

Підбирання перерізу за умовами міцності

Знайдемо максимальний (за модулем) згинаючий момент Mmax та переріз, у якому він досягається (небезпечний переріз).

Із співвідношення

знаходимо максимальне нормальне напруження у небезпечному перерізі.

Перевіримо тепер дотичні напруження. В кожному перерізі вони підраховуються за формулою Журавського:

Знайдемо дотичні напруження в двох перерізах: у тому, де досягається максимальний згинаючий момент, і в тому, де досягається максимальна перерізна сила.

Як правило, дотичні напруження значно менші за нормальні в одному й тому ж перерізі, до того ж вони досягаються на різних волокнах: нормальні − на крайніх, а дотичні − в середині перерізу. Тому небезпечними є зазвичай нормальні напруження.

Намалюємо розподіл нормальних та дотичних напружень у перерізі. Нормальні напруження розподілені лінійно, а дотичні − за параболою. Ми будуємо епюру розподілу дотичних напружень наближено: заміняємо двотавр набором прямокутників. Обчислюємо за формулою (12) напруження у крайніх волокнах тонкої вертикальної стійки та на внутрішніх волокнах широкої горизонтальної полички. На стійці будуємо параболу, а на короткій поличці обмежуємося прямолінійним відрізком. Малюємо на одному малюнку переріз, розподіл нормальних та дотичних напружень у небезпечному перерізі (там, де досягається Mmax), та розподіл дотичних напружень у тому перерізі, де досягається Qmax.

Якщо ви побачили, що підібраний номер двотавра більший за той, що ви задавали, перерахуйте ІДЗ, взявши профіль з більшим номером. Можливо, це доведеться повторювати кілька разів, аж поки заданий вами номер двотавра не буде співпадати з підібраним з умови міцності. І навпаки, якщо ви бачите, що максимальне напруження мале, і з умови міцності обирається двотавр з меншим номером, задайте менший номер та перерахуйте ІДЗ.

Що робити далі

Можливо, ви захочите надрукувати результати. Якщо перекинути вміст сторінки, наприклад, в MS Office-Word або Libre Office-Writer, то формули та графіки спотворяться, оскільки вони зроблені не як малюнки, а як вбудовані об’єкти. Тому краще роздрукувати сторінку безпосередньо з браузера або зробити скріншоти.

Література

  1. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.: Отв. Ред. Писаренко Г.С. - 2-е изд., перераб. И доп. - Киев: Наукова думка, 1988. - 7736 с. - ISSN 5-12-000299-4.